简单数学：相似直角三角形对应边成比例

我们前面简单复习了下三角形的面积为什么是平行四边形的二分之一， 接下来我们还需要另外一条性质：相似直角三角形的对应边成比例。

回顾

我大致推导了一下，大概需要以下几个前提，我们才能根据三边长来求出面积：

1. 三角形的面积：$S = {ah \over 2}$
2. 相似直角三角形，直角边成比例：${a_1 \over h_1} = {a_2 \over h_2}$
3. 勾股定理（畢氏定理）：$a^2 + b^2 = c^2$

所以首先我们先来回忆一下三角形的面积。

相似三角形

相似三角形是指内角相同，但是边长不同的三角形，这种三角形，总是能通过旋转或平移的方式，使两个三角形一个顶点重合，同时它的对边平行。

相似三角形其实三边都对应成比例，不过由于我们的目标是证明勾股定理，所以我们可以偷个懒只证明直角三角形的情况

相似直角三角形两直角边成比例

我们做一条垂线，可以把图形分成三块：

所以我们分别求出：

1. $S_1 = {a_1 h_1 \over 2}$
2. $S_2 = a_1(h -h_1)$
3. $S_3 = {(a-a_1)(h - h_1) \over 2}$
4. $S = S_1 + S_2+ S_3 = { ah \over 2}$

所以我们就有一个方程式了：

$$ {a_1h_1 \over 2} + a_1(h - h_1) + {(a-a_1)(h-h_1) \over 2} = {ah \over 2} $$

让我们来化简一下吧：

$$ {a_1h_1 \over 2} + a_1h - a_1h_1 + {ah-ah_1-a_1h+a_1h_1 \over 2} = {ah \over 2} $$

$$ a_1h - {a_1h_1\over2} + {ah-ah_1-a_1h+a_1h_1 \over 2} = {ah \over 2} $$

$$ a_1h - {ah_1+a_1h \over 2} = 0 $$

$$ 2a_1h - ah_1-a_1h = 0 $$

$$ a_1h = ah_1 $$

$$ {a_1 \over a}={h_1 \over h} $$

休息一下

化简时有没有回忆起你的中学时代呢，让我们休息一下，接下来我们要证明勾股定理了。