简单数学：三角形的面积

之前一次对比 bard 和 new bing 的回答结果时， new bing 只接使用三角形三边长求出了面积， 我当时是震惊到了，虽然后来回想，三边长固定，三角形的大小已经固定， 那么其实面积自然也确定了。不过还是激起了我念书时的回忆，我给自己定了一个目标： 如何只从公理和定义，根据三角形三边长求出面积？ 本文是第一部分，我们来回忆一下三角形面积的基础公式。

前提

我大致推导了一下，大概需要以下几个前提，我们才能根据三边长来求出面积：

1. 三角形的面积：$S = {ah \over 2}$
2. 相似直角三角形，直角边成比例：${a_1 \over h_1} = {a_2 \over h_2}$
3. 勾股定理（畢氏定理）：$a^2 + b^2 = c^2$

所以首先我们先来回忆一下三角形的面积。

长方形的面积

我们对面积的定义是从长方形开始的，对于这样一个长方形：

那么它的面积为

$$ S = a \times b $$

平行四边形的面积

通常我们会用切割的方法，把平行四边形转换为长方形：

那么它的面积就是

$$ S = a \times h $$

从这里其实我们就开始用到普莱费尔公理了， 首先从普莱费尔公理推导出三角形三角和为 180 度，然后就可以证明， 切掉的三角形平移后形成的四边形四角都是 90 度，所以是长方形。

三角形的面积

两个相同的三角形可以拼成一个平形四边形

所以它的面积就是

$$ S = {a \times h \over 2} $$

这里同样用到了普莱费尔公理，使用普莱费尔公理我们可以推导出： 内错角相等，两条线平行。这也是为什么两个三角形拼出的是平行四边形，而不是其它。

休息一下

这些其实都是小学学到的东西了，不过小学不会严格地证明， 三角形的面积我们也可以用别的方法证明，这里就不再赘述。 下一步我们需要推导另一个常用性质，我们就先休息一下吧。