简单数学：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法有上百种，不过我们还是老老实实用面积和相似来证明， 如果大家有兴趣看其他证明方法，我们以后再讨论。
回顾
我大致推导了一下，大概需要以下几个前提，我们才能根据三边长来求出面积：
- 三角形的面积：$S = {ah \over 2}$
- 相似直角三角形，直角边成比例：${a_1 \over h_1} = {a_2 \over h_2}$
- 勾股定理（畢氏定理）：$a^2 + b^2 = c^2$
这次我们来证明勾股定理。
已知条件
我们先看一下已知条件：
我们可以把题目理解为，已知 a、b，求 c，对此，我们可以在 c 边上做一条高 h 作为辅助， 首先根据三角形的面积，我们知道：
$$ S = {ab \over 2} = {ch \over 2} $$
所以：
$$ ab = ch $$
$$ h = {ab \over c} $$
我们有两个未知数，所以一个方程是不够的，所以我们还需要另一个方程， 而高 h 把三角形分为两个相似的直角三角形，这两个相似直角三角形和原三角形也相似， 我们可以得知：
$$ {h \over c_1} = { c - c_1 \over h} = {b \over a} $$
所以：
$$ {h \over c_1} = {b \over a} $$
$$ c_1 = {ah \over b} $$
我们把 $c_1$ 代入 ${ c - c_1 \over h} = {b \over a}$：
$$ { c - c_1 \over h} = {b \over a} $$
$$ { cb - ah \over hb} = {b \over a} $$
$$ { cba - a^2h } = {hb^2 } $$
再把 $h = {ab \over c}$ 带入：
$$ cba - {a^3b \over c } = {ab^3 \over c } $$
$$ c^2ba - {a^3b } = {ab^3 } $$
$$ c^2 - {a^2 } = {b^2 } $$
最后移项就可以得到：
$$ {a^2 } + {b^2 }= c^2 $$
休息一下
现在我们证出了勾股定理，接下来，我们就需要用勾股定理来推导如何已知三角形三边， 来求三角形面积了。